27考研南山数学做题思路一本通

第一章 函数的极限与连续

题型一 函数的极限

思路1：12个等价无穷小结论
当x→0时：sinx~x，arcsinx~x，tanx~x，arctanx~x，ln(1+x)~x，e^x-1~x，a^x-1~xlna(a>0,a≠1)，1-cosx~(1/2)x²，(1+ax)^β-1~aβx，√[n]{1+x}-1~(1/n)x，log_a(1+x)~x/lna(a>0,a≠1)，f(x)与g(x)等价且在x=0邻域连续时，∫₀^x f(t)dt=∫₀^x g(t)dt。

思路2：10个重要结论
1. 函数有界性等价于(0,+∞)及0处有界，需证分子为分母高阶无穷小或用洛必达。
2. f’(x)>0仅说明领域内递增，无法推整体单调。
3. 奇函数积分∫ₐ^x f(t)dt为偶函数，偶函数仅∫₀^x f(t)dt为奇函数。
4. 保序性：A>B则存在ξ>0，x∈(x₀,ξ)时f(x)>g(x)；反之A≥B。
5. 无界x×无界y≠无界，如Xₙ=0(x<0)或n(x≥0)，Yₙ=n(x<0)或0(x≥0)，XₙYₙ=0。
6. limₙ→∞aₙ=a则lim|aₙ|=|a|，反之不成立。
7. 0×∞不一定为0或∞，如(1/x)·x=1。
8. 重要不等式：1/(n+1)<ln(1+1/n)<1/n；x/(1+x)<ln(1+x)<x；sinx≤x≤tanx；e^x≥x+1。
9. Sₙ收敛推aₙ收敛，反之不成立，如aₙ=1，Sₙ=n。
10. 0≤a(x)≤b(x)≤c(x)，lim(x→∞)c(x)-a(x)=0不能推limb(x)存在。

思路3：特殊极限处理
三角极限：等价无穷小、中值定理、有界性、分子有理化、因式分解、提取非0项；根式极限：换元、同除非0项、有理化；n项和数列：同量级用定积分定义，次量级用夹逼定理。

小结：题型一函数的极限
1. 12个等价无穷小结论；2. 10个重要结论；3. 特殊极限处理；4. 递推关系证明；5. 无穷小阶比较。

题型二 函数连续

思路1：渐近线问题
垂直渐近线：定义域端点或分母零点；水平/斜渐近线：趋于±∞时需分别讨论，arctanx+arctan(1/x)=π/2(x>0)或-π/2(x<0)，e^x泰勒展开辅助分析。

思路2：间断点问题
漏解：绝对值、ln、分母、根号的定义域限制；类型：第一类需明确，第二类直接标注。

思路3：原函数与导函数关系
导函数奇偶性：奇函数导函数偶，偶函数导函数奇；原函数奇偶性：连续奇函数原函数偶，连续偶函数仅一个原函数奇；周期函数原函数周期。

小结：题型二函数连续
1. 渐近线问题；2. 间断点问题；3. 原函数与导函数关系。