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•27数学-南山十大常用不等式✔
本文档为27考研数学南山十大常用不等式笔记，涵盖三角不等式、算术平均值不等式、积分不等式等核心内容。详细列出各不等式的数学表达式、适用条件及等号成立条件，如三角不等式|a+b|≤|a|+|b|、算术平均值不等式(a₁+a₂+…+aₙ)/n≥ⁿ√(a₁a₂…aₙ)等，辅助考研学生掌握数学不等式的应用与证明方法，适用于考研数学备考复习，帮助学生在相关题型中快速解题。
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📑27数学-南山十大常用不等式
10大常用不等式
- 三角不等式：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a – b| ≥ ||a| – |b||，当且仅当a与b同号或至少一个为0时等号成立。
- 算术平均值不等式：(a₁ + a₂ + … + aₙ)/n ≥ ⁿ√(a₁a₂…aₙ)（aᵢ > 0），当且仅当a₁ = a₂ = … = aₙ时等号成立。
- 指数函数不等式：eˣ ≥ 1 + x（当且仅当x = 0时等号成立）。
- 反正切与正切不等式：arctanx < x < tanx（0 < x < π/2）。
- 二次函数不等式：x² ≥ 10x + 1（x > 0），解为x ≥ 5 + 2√6或x ≤ 5 – 2√6。
- 积分不等式：若f(x) ≤ g(x)（x∈[a,b]），则∫ₐᵇf(x)dx ≤ ∫ₐᵇg(x)dx；若f(x)在[a,b]连续，记m=minf(x)，M=maxf(x)，则m(b – a) ≤ ∫ₐᵇf(x)dx ≤ M(b – a)。
- 函数图像对比：y=sinx、y=arctanx、y=tanx、y=eˣ、y=lnx+1等函数性质比较，辅助理解不等式应用场景。
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