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•27数学-武忠祥0基础中值定理笔记✔
该文档为武忠祥0基础中值定理数学笔记，系统涵盖微分中值定理核心内容及泰勒公式系统讲解。包含费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定理（含推论）、柯西中值定理，以及皮亚诺型余项与拉格朗日型余项泰勒公式，附常见函数（如e^x、sinx、cosx、ln(1+x)等）的拉格朗日型余项展开式。笔记适合考研数学零基础学生夯实基础，掌握中值定理应用条件与泰勒公式推导方法，为考研数学复习提供清晰的知识点框架与解题思路。
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📑27数学-武忠祥0基础中值定理笔记
定理1(费马引理)：设函数f(x)在点x0处可导，若函数在x0处取得极值，则f’(x0)=0。
定理2(罗尔定理)：若f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，(3)f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=0。
定理3(拉格朗日中值定理)：若f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)。推论：若在(a,b)内恒有f’(x)=0，则f(x)在(a,b)内为常数。
定理4(柯西中值定理)：若f(x)、F(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，且F’(x)在(a,b)内每一点处均不为零，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得(f(b)-f(a))/(F(b)-F(a))=f’(ξ)/F’(ξ)。
定理5(皮亚诺型余项泰勒公式)：若f(x)在点x0有直至n阶的导数，则f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+(1/2!)f”(x0)(x-x0)^2+…+(1/n!)f^(n)(x0)(x-x0)^n+o[(x-x0)^n]。常称n为皮亚诺型余项，若x0=0，则得麦克劳林公式。
定理6(拉格朗日型余项泰勒公式)：设函数f(x)在含有x0的开区间(a,b)内有n+1阶的导数，则当x∈(a,b)时有f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+(1/2!)f”(x0)(x-x0)^2+…+(1/n!)f^(n)(x0)(x-x0)^n+R_n(x)，其中R_n(x)=f^(n+1)(ξ)/(n+1)!(x-x0)^(n+1)（ξ介于x0与x之间）。
几个常用的泰勒公式(拉格朗日型余项)：(1)e^x=1+x+x^2/2!+…+x^n/n!+e^(θx)/(n+1)!x^(n+1)；(2)sinx=x-x^3/3!+…+(-1)^(n-1)x^(2n-1)/(2n-1)!+(-1)^n cosθx/(2n+1)!x^(2n+1)；(3)cosx=1-x^2/2!+…+(-1)^n x^(2n)/(2n)!+(-1)^(n+1)cosθx/(2n+2)!x^(2n+2)；(4)ln(1+x)=x-x^2/2+…+(-1)^(n-1)x^n/n+(-1)^n x^(n+1)/(n+1)(1+θx)^(n+1)。
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