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•27数学-武老师求极限的8种方法归纳总结✔
本文档为考研数学求极限的8种方法归纳总结，系统讲解利用基本极限、等价无穷小代换、有理运算法则、洛必达法则、泰勒公式、夹逼原理、单调有界准则、定积分定义等方法的原理、适用条件及典型例题。每种方法均包含核心公式与解题步骤，帮助考生系统掌握极限求解技巧，提升考研数学解题能力。
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📑27数学-武老师求极限的8种方法归纳总结
常用的求极限方法(8种)
方法1：利用基本极限求极限
(1)常用基本极限：
limₓ→₀ sinx/x=1，limₓ→₀(1+x)^(1/x)=e，limₓ→∞(1+1/x)^x=e，limₓ→₀(aˣ-1)/x=lna等。
(2)多项式极限：分子次数>分母次数→∞；分子次数<分母次数→0；次数相同时取首项系数比。
(3)1^∞型极限：lim[1+α(x)]^β(x)=e^[limα(x)β(x)]，步骤为写标准形式、求极限、写结果。
方法2：利用等价无穷小代换求极限
(1)代换原则：乘除关系可换，加减关系需limα₁/β₁≠±1。
(2)常用等价无穷小：x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1+x)~eˣ-1，(1+x)^α-1~αx，1-cosx~x²/2。
方法3：利用有理运算法则求极限
极限四则运算：lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)，lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)，lim[f(x)/g(x)]=limf(x)/limg(x)(limg(x)≠0)。特殊情况：存在±不存在=不存在；非零因子极限可先求。
方法4：利用洛必达法则求极限
适用条件：0/0或∞/∞型未定式，f(x)、g(x)在x₀去心邻域可导，g’(x)≠0，limf’(x)/g’(x)存在或为∞。适用类型：0·∞、∞-∞、1^∞、∞^0、0^0型。
方法5：利用泰勒公式求极限
泰勒公式：f(x)=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀)+…+f⁽ⁿ⁾(x₀)(x-x₀)ⁿ/n!+o((x-x₀)ⁿ)。常用麦克劳林公式：eˣ=1+x+x²/2!+…+xⁿ/n!+o(xⁿ)，sinx=x-x³/3!+…+(-1)ⁿ⁻¹x²ⁿ⁻¹/(2n-1)!+o(x²ⁿ)。
方法6：利用夹逼原理求极限
核心思想：若h(x)≤f(x)≤g(x)且limh(x)=limg(x)=A，则limf(x)=A。典型例题：limₙ→∞[1/(n²+n+1)+…+n/(n²+n+n)]，通过放缩得结果。
方法7：利用单调有界准则求极限
核心定理：单调有界数列必有极限。典型例题：x₁>0，xₙ₊₁=1/2(xₙ+1/xₙ)，先证有下界，再证单调递减，得极限为1。
