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•27数学-茶楠微分学易错点25条✔
本文是针对考研数学微分学的25个常见易错点整理笔记，涵盖函数连续性与可导性、极限计算（含洛必达法则）、导数应用（极值、拐点、最值）、复合函数求导规则、幂指函数与隐函数求导、参数方程二阶导、泰勒公式展开、中值定理、渐近线判定等核心知识点。每个易错点均通过错误示例与反例揭示解题误区，帮助考生系统梳理微分学知识体系，避免因概念混淆、计算失误导致丢分，提升考研数学应试能力。
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📑27数学-茶楠微分学易错点25条
1.误以为函数连续就一定可导
错误：看到函数在某点连续，就理所当然认为可以求导。
反例：f(x)=|x|在x=0处连续，但左右导数f’(0)=-1，f’+(0)=1不相等，在该点不可导。
2.洛必达法则使用前不检查型式
错误：只要是分式极限，上来就分子分母同时求导。
反例：lim(x→0)(x+1)/(x+2)不是0/0或∞/∞型，直接代入得1/2。
3.洛必达法则求导后极限不存在，便断定原极限不存在
错误：认为导数比的极限不存在，原极限就一定不存在。
反例：lim(x→∞)(x+sinx)/x，用洛必达法则求导得lim(x→∞)(1+cosx)，该极限震荡不存在，但原极限通过化简可知其结果为1。
4.在加减法运算中盲目进行等价无穷小替换
错误：lim(x→0)(tanx-sinx)/x³=(x-x)/x³=0
反例：加减法中若直接导致主部抵消，必须使用泰勒公式，正确结果为1/2。
5.认为分母为0的点一定是无穷间断点
错误：不看极限情况，直接判定间断点类型。
反例：f(x)=sinx/x在x=0处分母为0，但由于极限存在，此处是可去间断点。
6.复合函数求导漏掉内层导数（链式法则不完整）
错误：d/dx sin(x²)=cos(x²)
反例：必须逐层求导，正确应为cos(x²)·d/dx(x²)=2xcos(x²)。
7.幂指函数u(x)^v(x)直接套幂函数公式
错误：(x^x)’=x·x^(x-1)
反例：应化为指数形式e^(xlnx)再求导，正确结果为x^x(lnx+1)。
8.隐函数求导忘记y是x的函数
错误：对方程中的y²项求导直接写成2y。
反例：对x²+y²=1求导，应得到2x+2yy’=0，不能丢掉y’。
9.参数方程求二阶导忘记再除以dx/dt
错误：d²y/dx²=d/dt(dy/dx)
反例：设x=t²，y=t³，二阶导数应为[d/dt(dy/dx)]/(dx/dt)。
10.分段函数在分界点处直接代入导函数极限
错误：认为f’(x₀)=lim(x→x₀)f’(x)
反例：仅当导函数f’(x)在x₀连续时成立，通常必须用导数定义求分界点导数。
11.中值定理要求闭区间连续，误认为是开区间连续
错误：认为只要函数在(a,b)内连续且可导即可使用拉格朗日中值定理。
反例：f(x)=1（x=0），0<x≤1，在(0,1)内连续且可导，但f(1)-f(0)=-1，而f’(ξ)(1-0)=0，定理不成立。
12.罗尔定理忽略“开区间内可导”的前提
错误：端点值相等即认为必存在导数为0的点。
反例：需满足闭区间连续、开区间可导、端点值相等，否则不成立。
13.拉格朗日中值定理中ξ范围选取错误
错误：认为f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)中的ξ可以取到端点。
反例：定理明确要求ξ∈(a,b)，必须是开区间内部的点。
14.泰勒公式展开阶数不足
错误：求极限时，展开阶数低于分母阶数导致精度丢失。
反例：计算lim(x→0)(x-sinx)/x³，若sinx只展开到x，结果为0，正确应展开到x³项。
15.高阶导数莱布尼茨公式记错组合系数
错误：(uv)^(n)=u^(n)v+uv^(n)
反例：正确公式为(uv)^(n)=Σₖ=0ⁿC(n,k)u^(k)v^(n-k)。
16.误认为极小值点一定小于极大值点
错误：习惯性认为“极小值”就是函数值较小的那一个。
反例：多峰函数中，局部极小值可能远大于另一处的局部极大值，极值是局部性质。
17.混淆“驻点”与“极值点”
错误：认为驻点（导数为0）一定是极值点。
反例：f(x)=x³在x=0是驻点，但导数在两侧不变号，不是极值点。
18.判定极值时忽略不可导点
错误：只通过解f’(x)=0来找极值点。
反例：f(x)=|x|在x=0处导数不存在，但它是极小值点。
19.认为f”(x)=0的点一定是拐点
错误：只要二阶导为0就判定为凹凸分界点。
反例：f(x)=x⁴在x=0处f”(0)=0，但两侧二阶导均大于0，不是拐点。
20.闭区间求最值漏掉端点比较
错误：算出极值后直接默认其为最大或最小值。
反例：闭区间最值必须在驻点、不可导点和两个端点中通过数值比较产生。
21.认为函数不能与其自身的渐近线相交
错误：认为渐近线是函数永远无法触碰的“禁区”。
反例：f(x)=sinx/x+1当x→∞时，水平渐近线为y=1，但函数会与之交于无穷多次。
22.反函数求导忘记更换变量或求倒数
错误：直接认为f⁻¹(x)的导数就是f’(x)的倒数，且变量不变。
反例：dx/dy=1/(dy/dx)，需注意d/dy[f⁻¹(y)]中自变量位置。
23.误认为若f’(x₀)存在，则f’(x)在x₀附近一定存在
错误：认为一点可导能推导出局部可导。
反例：构造函数在一点可导，但在其域内处处不可导（如改进后的狄利克雷函数）。
24.对绝对值函数求导不分区间
错误：d/dx|f(x)|=|f’(x)|
反例：正确做法是d/dx|f(x)|=sgn(f(x))·f’(x)，且需排除f(x)=0的点。
25.斜渐近线a为无穷大时强行写方程
错误：只要lim(f(x)/x)有结果就认为有斜渐近线。
反例：必须a=lim(x→∞)f(x)/x和b=lim(x→∞)(f(x)-ax)同时为有限常数。
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