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27考研武忠祥高数基础讲义导数公式运用

27考研武忠祥高数基础讲义导数公式运用

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27数学-武忠祥高数基础讲义导数公式运用

📒文档说明:

本文档为武忠祥高数基础讲义中导数公式运用的学习笔记,主要内容包括导数定义及其等价形式(如lim(x→x₀)[f(x)-f(x₀)]/(x-x₀)、lim(h→0)[f(x₀+h)-f(x₀)]/h)、左导数与右导数的定义,以及2022年考研数学真题(17题)的详细解析。真题涉及已知f(x)在x=1处可导,通过极限式lim(x→0)[f(e^(x²))-3f(1+sin²x)]/x²=2求f’(1),讲解如何利用导数定义、等价无穷小替换及凑导数形式的方法解题,帮助考研学生夯实导数基础并掌握极限与导数结合的题型解法。

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📑27数学-武忠祥高数基础讲义导数公式运用     

导数定义:设函数y=f(x)在x₀的某邻域内有定义,若lim(Δx→0)[f(x₀+Δx)-f(x₀)]/Δx存在,则f(x)在x₀处可导,记为f’(x₀)。等价形式包括lim(x→x₀)[f(x)-f(x₀)]/(x-x₀)和lim(h→0)[f(x₀+h)-f(x₀)]/h。左导数:函数在x₀左邻域内定义,左极限lim(Δx→0⁻)[f(x₀+Δx)-f(x₀)]/Δx存在时为左导数f’_(x₀);右导数类似。2022年考研数学真题17题:已知f(x)在x=1处可导,lim(x→0)[f(e^(x²))-3f(1+sin²x)]/x²=2,求f’(1)。解题关键:分母x²→0,分子需→0,故f(1)=0。凑导数定义:将分子拆分为[f(e^t)-f(1)]/t – 3[f(1+sin²x)-f(1)]/sin²x * sin²x/t,利用等价无穷小e^t-1~t、sin²x~x²,结合导数定义f’(1)=lim(t→0)[f(1+t)-f(1)]/t,计算得f’(1)=2。

 

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