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•27数学-武忠祥高数基础课笔记（1-2）✔
本文档为武忠祥高数基础课笔记，聚焦极限的概念与性质、存在准则及无穷小量与无穷大量的知识点，适用于考研数学复习。内容涵盖数列极限（定义及与奇偶数列极限关系）、函数极限（自变量无穷/有限值情况及单侧极限），极限性质（有界性、保号性），存在准则（夹逼准则、单调有界准则），无穷小量（定义、比较及性质）与无穷大量（定义、比较及与无穷小关系），帮助学生夯实高数基础，掌握极限相关核心考点。
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📑27数学-武忠祥高数基础课笔记（1-2）
一、极限的概念
1.数列的极限：定义为对任意ε>0，存在正整数N，当n>N时|xₙ-a|<ε，记limₙ→∞xₙ=a。南山笔记指出ε刻画接近程度，N刻画过程，且limₙ→∞xₙ=a等价于奇、偶数列极限均为a。
2.函数的极限：自变量趋于无穷（分正负无穷及双侧极限）或有限值（定义为对任意ε>0，存在δ>0，当0<|x-x₀|<δ时|f(x)-A|<ε，记limₓ→x₀f(x)=A）。单侧极限存在且相等时整体极限存在。
二、极限的性质
1.有界性：收敛数列有界，函数极限存在则局部有界；
2.保号性：极限为正（负）则数列/函数在某邻域内正（负），反之亦然。
三、极限的存在准则
1.夹逼准则：n>N时xₙ≤yₙ≤zₙ且limxₙ=limzₙ=a，则limyₙ=a；
2.单调有界准则：单调增有上界或单调减有下界的数列必有极限。
四、无穷小量
1.定义：极限为0的变量；
2.比较：高阶（limα/β=0）、低阶（limα/β=∞）、同阶（limα/β=C≠0）、等价（limα/β=1）及k阶无穷小；
3.性质：有限个无穷小的和、积仍为无穷小，与有界量积为无穷小。
五、无穷大量
1.定义：对任意M>0，存在邻域使|f(x)|>M；
2.比较：对数<幂函数<指数函数（x→+∞时）；
3.关系：无穷大倒数为无穷小，无界≠无穷大。
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