27考研武忠祥《高数基础篇》常考题型及方法整理

题型一 复合函数

1. 解题核心：明确内层函数与外层函数表达式，遵循“由内到外”或“由外到内”代入原则。
2. 常见考法：求复合函数表达式（代入外层函数）、判断定义域（内层值域满足外层定义域）、分解复杂函数。

题型二 函数性态

1. 单调性2. 奇偶性3. 周期性4. 有界性

题型三 极限的概念、性质及存在准则

1. 核心：极限描述自变量趋近某值时的变化趋势，与函数在该点取值无关。
2. 性质：唯一性（极限存在则唯一）、局部有界性（去心邻域内有界）、局部保号性（若lim f(x)=A>0，则去心邻域内f(x)>0）。
3. 存在准则：夹逼准则（g(x)≤f(x)≤h(x)且lim g(x)=lim h(x)=A，则lim f(x)=A）、单调有界准则（单调有界数列必有极限）。

题型四 求极限

1. 方法：基本极限（lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e等）、有理运算法则、等价代换（sinx~x，e^x-1~x等）、泰勒公式（e^x=1+x+x²/2!+o(x²)等）、夹逼准则、定积分定义（∫ₐᵇf(x)dx=limλ→∞Σf(ξᵢ)Δxᵢ）。
2. 题型：0/0型、∞/∞型、0·∞型等，方法包括洛必达法则、同除最高阶无穷大、通分有理化等。

题型五 无穷小量阶的比较

1. 阶的比较：定义、洛必达法则、等价代换、泰勒公式（两两比较）。
2. 排序与求阶：确定最高/最低阶无穷小。
3. 参数确定：利用定义、洛必达法则、等价代换、泰勒公式。

题型六 讨论连续性及间断点类型

1. 连续性判断：lim(x→x₀⁻)f(x)=lim(x→x₀⁺)f(x)=f(x₀)，分段函数需验证分段点。
2. 间断点类型：可去（左右极限存在且相等）、跳跃（左右极限存在不等）、无穷（极限为无穷）、振荡（极限振荡）。

题型七 介值定理、最值定理及零点定理

1. 介值定理：闭区间连续函数必取遍中间值。
2. 零点定理：f(a)f(b)<0时，存在ξ∈(a,b)使f(ξ)=0。