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•27数学-大雪深埋【紧凑版】数列极限讲义✔
文档为27考研数学数列极限紧凑版讲义，系统涵盖数列极限核心知识点：定义（含ε-δ语言）、性质（唯一性、有界性、保号性）、四则运算、海涅定理，及证明极限存在的充要条件（子列收敛）与充分条件（夹逼准则、单调有界准则），配套多道例题解析题型方法，帮助考生掌握数列极限的定义理解、性质应用、证明技巧及典型例题，适合备考学生构建知识体系，提升解题能力。
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📑27数学-大雪深埋【紧凑版】数列极限讲义
一、数列极限的定义
(1)设{xₙ}为一数列，当n非常大时，xₙ无限接近于a（a为常数），则称{xₙ}收敛到a，记作“limₙ→∞xₙ=a”或“xₙ→a(n→∞)”。
(2)标准化定义：limₙ→∞xₙ=a ⇔ ∀ε>0，∃N∈N⁺，当n>N时，|xₙ−a|<ε。
童哥带你理解：ε是任意小的正数，N依赖于ε，只要n足够大，xₙ与a的差距就能小于任意给定的ε。例如limₙ→∞(1/2)ⁿ=0，对任意ε>0，取N=log₂(1/ε)，当n>N时，|(1/2)ⁿ−0|<ε。
【例1】下列说法与“limₙ→∞xₙ=A”等价的是：
(1)∀ε>0，∃N∈N⁺，当n≥N，|aₙ−A|<ε；
(3)∀ε>0，∃N∈N⁺，当n>N，|aₙ−A|<2ε；
(5)∀ε>0，∃N∈N⁺，当n>N，|aₙ−A|≤ε。
二、数列极限的性质
1.唯一性：若极限存在，则唯一。
2.有界性：收敛数列必全局有界。
3.保号性：若limₙ→∞xₙ=a>b，则∃N，当n>N时xₙ>b；若xₙ>a且极限存在，则limₙ→∞xₙ≥a。
【例3】设数列{xₙ}收敛，判断选项：
(A)当limₙ→∞sinxₙ=0时，limₙ→∞xₙ=0；
(B)当limₙ→∞(xₙ+√|xₙ|)=0时，limₙ→∞xₙ=0；
(C)当limₙ→∞(xₙ+xₙ²)=0时，limₙ→∞xₙ=0；
(D)当limₙ→∞(xₙ+sinxₙ)=0时，limₙ→∞xₙ=0。
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