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•27数学-大雪深埋【做题本】数列极限讲义✔
本文档为考研数学数列极限专题讲义，涵盖数列极限的定义、性质、四则运算、海涅定理及极限存在的充要条件（子列收敛性）、夹逼准则、单调有界准则等核心知识点，通过大量例题（如数列极限等价条件判断、极限证明、题型分析）梳理epsilon-delta语言的应用，帮助考生掌握数列极限的解题方法与技巧，适用于考研数学备考中对数列极限部分的系统复习与强化训练。
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📑27数学-大雪深埋【做题本】数列极限讲义
1.唯一性：若{xₙ}极限存在，通过{f(xₙ)}与{xₙ}的敛散性考察。
2.有界性：极限存在则{xₙ}必全局有界（2022年数三考难题）。
3.保号性：①若limₙ→∞xₙ=a且a>b，则∃N，当n>N时xₙ>b；②若xₙ>a且limₙ→∞xₙ存在，则limₙ→∞xₙ≥a。
【例3-8】设{xₙ}收敛，分析sinxₙ、xₙ+√|xₙ|等表达式极限与xₙ的关系，判断选项正确性。
三、数列极限的四则运算
若{xₙ}、{yₙ}收敛，则：
limₙ→∞(xₙ±yₙ)=limₙ→∞xₙ±limₙ→∞yₙ；limₙ→∞cxₙ=c limₙ→∞xₙ（c为常数）；limₙ→∞xₙyₙ=limₙ→∞xₙlimₙ→∞yₙ；limₙ→∞xₙ/yₙ=limₙ→∞xₙ/limₙ→∞yₙ（limₙ→∞yₙ≠0）。
【例11】分析limₙ→∞aₙ、limₙ→∞bₙ不存在时，limₙ→∞(aₙ+bₙ)与limₙ→∞(aₙ-bₙ)的敛散性。
四、海涅定理
设f(x)在x₀去心邻域有定义，则limₓ→ₓ₀f(x)=A ⇔ 对任意{xₙ}→x₀（xₙ≠x₀），limₙ→∞f(xₙ)=A。作用：①求数列极限；②否定函数极限存在。
【例12-13】用海涅定理计算数列极限或证明函数极限不存在，如limₙ→∞n sin(1/n)、limₙ→∞(n² -n³ sin(1/n))等。
五、证明数列极限存在
1.充要条件：limₙ→∞xₙ=a ⇔ limₙ→∞x₂ₙ=limₙ→∞x₂ₙ₋₁=a。
2.夹逼准则：∃n₀∈N⁺，当n>n₀时aₙ≤xₙ≤bₙ，若limₙ→∞aₙ=limₙ→∞bₙ=A，则limₙ→∞xₙ=A。
【例15-19】用夹逼准则求极限，如√[n]{a₁ⁿ+…+aₖⁿ}的极限、xₙ≤A≤yₙ且xₙ-yₙ→0时xₙ→A等。
3.单调有界准则：单调且有界数列收敛。
【例20-26】通过数学归纳法、不等式证明单调性与有界性以证明收敛，如xₙ₊₁=√(2+xₙ)、xₙ=ln(1+xₙ)等数列收敛性分析。
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