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•27数学-武忠祥0基础中值定理笔记✔
这是一份针对考研数学的0基础中值定理与泰勒公式笔记，由武忠祥编写，适合零基础学生系统学习。内容涵盖微分中值定理的五大核心定理：费马引理（极值点处导数为0）、罗尔定理（闭区间连续、开区间可导且端点函数值相等时存在导数零点）、拉格朗日中值定理（闭连续开可导时存在导数满足函数值差与区间差的比例关系）、柯西中值定理（两函数满足连续可导且分母导数非零条件时存在导数比等于函数值比），以及泰勒公式的皮亚诺型余项和拉格朗日型余项，详细推导了e^x、sinx、cosx、ln(1+x)等常用函数的泰勒展开式，帮助学生理解定理条件与结论，掌握公式推导逻辑，夯实微分中值定理与级数展开的基础。
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📑27数学-武忠祥0基础中值定理笔记
定理1(费马引理)：设函数f(x)在点x₀处可导，如果函数f(x)在点x₀处取得极值，那么f'(x₀)=0。
定理2(罗尔定理)：如果f(x)满足以下条件：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，(3)f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=0。
定理3(拉格朗日中值定理)：如果f(x)满足以下条件：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)。推论：如果在(a,b)内恒有f'(x)=0，则在(a,b)内f(x)为常数。
定理4(柯西中值定理)：如果f(x)，F(x)满足以下条件：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，且F'(x)在(a,b)内每一点处均不为零，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)。
定理5(皮亚诺型余项泰勒公式)：如果f(x)在点x₀有直至n阶的导数，则有f(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)+(1/2!)f”(x₀)(x-x₀)²+…+(1/n!)f⁽ⁿ⁾(x₀)(x-x₀)ⁿ+o[(x-x₀)ⁿ]，常称n为皮亚诺型余项，若x₀=0，则得麦克劳林公式：Rₙ(x)=o[(x-x₀)ⁿ]。
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