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•27数学-武忠祥洛必达求极限总结✔
本文档为27数学-武忠祥洛必达求极限总结，属于考研数学武忠祥系列笔记。内容涵盖洛必达法则的基本定义、适用类型及注意事项，详细讲解了0/0型、∞/∞型、∞-∞型、0·∞型（含1^∞、∞^0、0^0）等未定型极限的转化方法与解题步骤。通过典型例题（如lim(x→1)lncos(x-1)/(1-sin(πx/2))、lim(x→+∞)(x+√(1+x²))^(1/x)等）展示洛必达法则的实际应用，包含等价无穷小代换、取对数、转化未定型等技巧，帮助考生系统掌握洛必达求极限的核心方法与易错点，适合考研数学备考复习使用。
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📑27数学-武忠祥洛必达求极限总结
一、洛必达法则
若1) $\lim {x \to x{0}} f(x)=\lim {x \to x{0}} g(x)=0(\infty)$；
2) $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x_{0}$ 的某去心邻域内可导，且 $g'(x) \neq 0$；
3) $\lim {x \to x{0}} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在（或为无穷大），则 $\lim {x \to x{0}} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim {x \to x{0}} \frac{f'(x)}{g'(x)}$。
二、适用类型
1. 转化框图：
$\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty} \Leftarrow \begin{cases} 0 \cdot \infty \Leftarrow \begin{cases} 1^{\infty} \ \infty^{0} \ 0^{0} \end{cases} \ \infty – \infty \end{cases}$
- 注意问题：
- 使用前检验条件是否满足；
- 若仍为未定型且条件满足，可重复使用；
- 含极限非零因子可单独求极限；
- 结合等价无穷小或恒等变形简化运算。
三、例题
1. $\lim {x \to 1} \frac{\ln \cos (x-1)}{1 – \sin \frac{\pi}{2} x}$（0/0型）：直接用洛必达法则，得解为 $-\frac{4}{\pi^2}$。
2. $\lim {x \to +\infty}(x + \sqrt{1 + x^2})^{\frac{1}{x}}$（∞⁰型）：取对数后用洛必达法则，得解为1。
3. $\lim _{x \to 1}(1 – x^2) \tan \frac{\pi}{2} x$（0·∞型）：转化为0/0型，用洛必达法则，得解为 $\frac{4}{\pi}$。
