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本文档是针对2027考研数学中极限求解的总结，重点讲解求极限的三种核心方法。首先介绍如何判断极限是否为“0/0”型未定式，即代入变量趋近值后分子分母极限均为0时，可判定为“0/0”型。接着详细阐述三种常用方法：洛必达法则，需满足分子分母极限为0、在x₀去心邻域可导且分母导数不为0，且极限lim f’(x)/g’(x)存在；等价无穷小代换，乘除关系可直接代换，加减关系在特定条件下可代换，并列举x→0时常用等价无穷小公式；泰勒公式，介绍eˣ、sinx、cosx、ln(1+x)等函数的泰勒展开式，用于更精确的极限计算。内容适合考研学生系统复习极限求解，夯实基础提升解题能力。
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📑27数学-武忠祥求极限三种方法总结(1)
一、判断“0/0”型：将变量趋近值代入原式，若分子和分母的极限均为0，则为“0/0”型未定式。二、常用方法：1. 洛必达法则：条件为lim f(x)=lim g(x)=0，f(x)和g(x)在x₀的某去心邻域内可导，且g’(x)≠0，此时lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)。2. 等价无穷小代换：(1)乘除关系可代换，α~α₁，β~β₁时，lim α/β=lim α₁/β₁；(2)加减关系在α₁/β₁≠1或-1时可代换，如α+β~α₁+β₁。常用等价无穷小（x→0）：x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1+x)~eˣ-1；(1+x)ᵅ-1~αx；1-cosx~x²/2；aˣ-1~x lna；x-sinx~x³/6；tanx-x~x³/3；x-ln(1+x)~x²/2；arcsinx-x~-x³/6。3. 泰勒公式：(1)eˣ=1+x+x²/2!+…+xⁿ/n!+o(xⁿ)；(2)sinx=x-x³/3!+…+(-1)ⁿ⁻¹x²ⁿ⁻¹/(2n-1)!+o(x²ⁿ⁻¹)；(3)cosx=1-x²/2!+…+(-1)ⁿx²ⁿ/(2n)!+o(x²ⁿ)；(4)ln(1+x)=x-x²/2+…+(-1)ⁿ⁻¹xⁿ/n+o(xⁿ)。
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