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•27数学-小谭数学公式（多元函数微分积分）✔
本文档是关于考研数学中多元函数微分学、二重积分及常微分方程的笔记，涵盖多元函数连续、偏导数定义、可微判断步骤，二元函数偏导数连续判断，链式求导规则，无条件极值充分条件，拉格朗日乘数法；二重积分的可积性、线性性质、可加性、保号性、估值定理、中值定理、轮换对称性及直角坐标与极坐标计算方法；常微分方程中一阶可分离变量型、可化为变量可分离型、一阶线性、伯努利方程，二阶可降阶及高阶线性微分方程的求解方法，包括二阶常系数齐次与非齐次方程的通解和特解求解
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📑27数学-小谭数学公式（多元函数微分积分）
1.多元函数的连续：lim((x,y)→(x0,y0))f(x,y)=f(x0,y0)
2.偏导数的定义：fx’(x0,y0)=lim(Δx→0)[f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)]/Δx=lim(x→x0)[f(x,y0)-f(x0,y0)]/(x-x0)
3.二元函数可微判断步骤：①写全增量Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)-f(x0,y0)；②写线性增量AΔx+BΔy（A=fx’(x0,y0)，B=fy’(x0,y0)）；③作极限lim((Δx,Δy)→(0,0))[Δz-(AΔx+BΔy)]/√(Δx²+Δy²)，极限为0则可微
4.偏导数连续判断：①定义法求fx’(x0,y0)、fy’(x0,y0)；②公式法求fx’(x,y)、fy’(x,y)；③计算lim((x,y)→(x0,y0))fx’(x,y)=fx’(x0,y0)且lim((x,y)→(x0,y0))fy’(x,y)=fy’(x0,y0)则连续
5.链式求导规则
6.无条件极值充分条件：记fx’(x0,y0)=A，fxy’’(x0,y0)=B，fyy’’(x0,y0)=C，Δ=B²-AC；Δ<0时A>0极小值、A<0极大值；Δ=0失效
7.拉格朗日乘数法：构造F=f+λφ+μΨ，求偏导为0的点，计算函数值取最值
Part9二重积分
1.可积函数必有界
2.线性性质：∬(D)[k1f±k2g]dσ=k1∬f dσ±k2∬g dσ
3.可加性：D=D1∪D2且D1∩D2≠∅时∬D f dσ=∬D1 f dσ+∬D2 f dσ
4.保号性：f≤g则∬f dσ≤∬g dσ，且|∬f dσ|≤∬|f|dσ
5.估值定理：m≤f≤M，A为D面积则mA≤∬f dσ≤MA
6.中值定理：存在(ξ,η)∈D使∬f dσ=f(ξ,η)A
7.轮换对称性：D关于y=x对称则∬f(x,y)dσ=∬f(y,x)dσ
8.计算：①直角坐标（先x后y或先y后x）；②极坐标（极点在边界、内部等情况）
Part10常微分方程
1.一阶可分离变量型
2.可化为变量可分离型：如dy/dx=f(ax+by+c)令u=ax+by+c，或齐次型
3.一阶线性：y’+p(x)y=q(x)
4.伯努利方程（数一）：y’+p(x)y=q(x)yⁿ（n≠0,1），令z=y¹⁻ⁿ化为一阶线性
5.二阶可降阶（数一、数二）：①不显含y令y’=p；②不显含x令y’=p(y)
6.高阶线性：①概念（变系数、常系数、齐次/非齐次）；②二阶常系数齐次通解（特征根法）；③二阶常系数非齐次特解（多项式×指数×三角函数形式，按特征根选k）
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