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本文档是《满分线性代数》强化课程第五章矩阵特征值和特征向量的34个命题汇总，涵盖特征值与特征向量的定义、判定条件、基本性质，以及特殊矩阵（如三角矩阵、数量矩阵、秩1矩阵、正交矩阵）的特征值特点，还包括矩阵运算（如伴随矩阵、相似矩阵）与特征值的关系、特征值的应用（如解方程组、判断线性相关性）等核心知识点。通过系统梳理这些命题，帮助学生深入理解矩阵特征值与特征向量的概念，掌握相关定理和计算方法，提升对线性代数知识的综合运用能力。
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📚26数学-杨威34个特征值命题证明做题本📚
n 阶矩阵满足 Aα=λα(α≠0) 等价于 α 是 n 阶矩阵 A 的属于特征值 λ 的特征向量。b/a 是 A 的特征值 等价于 |aA – bE|=0(a≠0)。λ₀不是A的特征值 等价于 |A – λ₀E|≠0，0是A的特征值 等价于 |A|=0，0不是A的特征值 等价于 |A|≠0。若方程组 (A – λ₀E)x=0 有非零解，则 λ₀ 是矩阵 A 的特征值，方程组非零解向量就是矩阵 A 属于 λ₀ 的特征向量。设3阶矩阵 A=(α₁, α₂, α₃)，若有 k₁α₁ + k₂α₂ + k₃α₃=0，则非零向量 (k₁,k₂,k₃) 是矩阵 A 属于特征值 0 的特征向量；若有 k₁α₁ + k₂α₂ + k₃α₃=(k₁,k₂,k₃)≠0，则 (k₁,k₂,k₃) 是矩阵 A 属于特征值 1 的特征向量。若 α, β 均为 n 维非零列向量，则向量 α 是矩阵 αβ^T 属于特征值 β^Tα（或 α^Tβ）的特征向量。若 α, β 均为 n 维非零列向量且正交，A=αα^T + ββ^T，则 α 和 β 都是 A 的特征向量。若 α, β 均为 n 维正交单位列向量，A=αβ^T + βα^T，则 α+β 是 A 的属于 1 的特征向量，α-β 是 A 的属于 -1 的特征向量。若 Aα=kβ 且 Aβ=kα，α+β≠0 且 α-β≠0，则 α+β 是 A 的属于 k 的特征向量，α-β 是 A 的属于 -k 的特征向量。向量组 Aα, α 线性相关(α≠0) 等价于 α 是 A 的特征向量。三角矩阵和对角矩阵的特征值为矩阵主对角线上元素的值。
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