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•26数学-杨威34个特征值命题证明解析✔
本文档为《满分线性代数》强化课程第五章的知识汇总，主要内容为矩阵的特征值和特征向量相关的34个命题证明。涵盖特征值与特征向量的定义、基本性质，如特征值与行列式的关系、特征向量与齐次方程组解的联系；涉及特殊矩阵的特征值问题，如数量矩阵、单位矩阵、零矩阵及秩1矩阵；还包括相似矩阵的特征值、伴随矩阵的特征向量、实对称矩阵的正交性、矩阵多项式的特征值等重要知识点。通过对这些命题的证明与总结，帮助学习者系统掌握矩阵特征值与特征向量的核心考点，巩固相关理论知识，适用于考研复习或课程学习中对该部分内容的深入理解与应用。
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📚26数学-杨威34个特征值命题证明解析📚
- 特征值与特征向量定义：n阶矩阵A满足Aα=λα(α≠0)⇔α是A属于特征值λ的特征向量。2. 特征值判定：λ是A的特征值⇔|A-λE|=0；0是A的特征值⇔|A|=0。3. 特征向量与齐次方程组：方程组(A-λ₀E)x=0有非零解，则λ₀是A的特征值，非零解向量为对应特征向量。4. 矩阵列向量线性组合：设A=(α₁,α₂,α₃)，若k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0，则(k₁,k₂,k₃)^T是A属于0的特征向量。5. 特殊矩阵特征值：数量矩阵kE的特征值全为k；单位矩阵E的特征值全为1；零矩阵0的特征值全为0。6. 秩1矩阵特征值：n阶秩1矩阵A的特征值为n-1个0和1个tr(A)，可表示为αβ^T，其中α,β为n维列向量。7. 伴随矩阵特征向量：非零特征向量α是A的特征向量时，也是A的特征向量；若Aα=0，则α也是A的特征向量。8. 相似矩阵特征值：若AP=PB且P可逆，则A与B相似，特征值相同。9. 实对称矩阵特征向量：不同特征值的特征向量正交；重特征值的特征向量组成的子空间与对应方程组解空间重合。
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