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•26数学-杨威分块矩阵秩的20个公式证明解析✔
文档主要围绕线性代数中矩阵秩的核心性质展开，系统整理了20条重要命题及证明方法。涵盖矩阵和、分块矩阵、可逆矩阵、列满秩/行满秩矩阵的秩的不等式关系，如利用极大无关组证明r(A+B)≤r[A,B]≤r(A)+r(B)，通过初等变换证明r[A,AP]=r(A)、r[[A],[A]]=r(A)等。内容涉及矩阵和的秩、分块矩阵的秩计算、不同类型矩阵（可逆、列满秩）对秩的影响，结合线性组合、初等变换等工具推导结论，是线性代数学习中关于矩阵秩性质的实用总结资料。
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📚26数学-杨威分块矩阵秩的20个公式证明解析📚
- r([A, B]) ≥ r(A)；r([A, B]) ≥ r(B)；2. r[[A], [B]] ≥ r(A)；r[[A], [B]] ≥ r(B)；3. r(A+B) ≤ r[A, B] ≤ r(A)+r(B)，证明：设A的极大无关组为α₁…αₛ，B的极大无关组为β₁…βₜ，向量组[A,B]可由[A,B]的列向量线性表示，秩≤s+t=r(A)+r(B)，且≥r(A), r(B)；4. r[[A], [B]] ≤ r(A)+r(B)，证明同3，可将A视为行向量；5. r[A, AP] = r(A)，通过初等列变换将[A, AP]化为[A, 0]，秩为r(A)；6. r[A, A] = r(A)，类似5的初等变换；7. 若A可逆，则r[A, B] = r(A)，左乘A⁻¹消去B；8. 若A列满秩，则r[A, B] = r(A)，r[A,B]≥r(A)=n，且≤r(A)+r(B)=n+r(B)，实际等于r(A)；9. r[[A], [BA]] = r(A)，左乘可逆矩阵化为[A, 0]；10. r[[A], [A]] = r(A)，通过初等行变换消去重复行；11. 若A可逆，则r[[A], [B]] = r(A)，左乘A⁻¹；12.若A列满秩，则r[[A], [B]] = r(A)；13. r[[A, 0], [C, B]] ≤ r(A)+r(B)+r(C)，且≥r(A)+r(B)；14. r[A, B] = r(A)+r(B)（条件不足时），通过初等变换化为对角矩阵；15-20. 涉及多种分块矩阵秩的性质及证明，如r[[A, AC], [0, B]] = r(A)+r(B)等。
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