📚考研数学 | 行列式思维导图超全梳理

备考线性代数的宝子看过来！分享行列式超清晰思维导图，概念、性质、计算、应用一网打尽👇

行列式知识框架

概念

不同行不同列元素乘积的代数和（共 n! 项）

性质

1. 经转置行列式的值不变，即 (|A^T| = |A|)
2. 某行 (列) 元素全为 0，则行列式为 0
3. 两行 (列) 元素相等或对应成比例，则行列式为 0
4. 某行 (列) 元素均是两个元素之和，则可拆成两个行列式之和
5. 两行 (列) 互换，行列式的值反号
6. 某行 (列) 元素有公因数 k (k 不为 0)，可把 k 提到行列式外面
7. 某行 (列) 的 k 倍加到另一行 (列)，行列式的值不变

展开式

• 余子式：(M_{ij})
• 代数余子式：(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij})
• 展开公式：
  • 按行展开：(|A| = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + cdots + a_{in}A_{in})
  • 按列展开：(|A| = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + cdots + a_{nj}A_{nj})

计算

数字型

方法：三角化法、公式法、递推法💡常用技巧：

• 直接按行 (列) 展开
• 逐行 (列) 相加，把第 i 行 (列) 都加到第一行，把第一行 (列) 的加倍加到第 i 行 (列)

抽象型

方法：

• 用行列式性质
• 用矩阵性质
• 用特征值（(|A| = prod lambda_i)，相似时）

应用

1. 可逆的判定：(A可逆 Leftrightarrow |A| neq 0)
2. 利用伴随矩阵求逆：(A^{-1} = frac{A^*}{|A|})
3. 线性相关 (无关) 的判定：n 个 n 维向量
4. 线性方程组解的判定：克拉默法则
5. 特征值的计算：
   • 利用特征方程：(|lambda E – A| = 0)
   • 利用特征值性质：(|A| = prod lambda_i)
6. 二次型正定判定：顺序主子式 > 0

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