高数第一章🔥 函数、极限、连续必考题

🌟 第一章核心题型

1. 极限的概念、性质及存在准则
   （理解极限定义，掌握夹逼、单调有界等准则，判断极限是否存在）
2. 求极限
   （高频考点！洛必达、等价无穷小、重要极限公式… 各种题型的计算方法要熟练）
3. 无穷小量阶的比较
   （比阶、找等价无穷小，区分高阶、低阶、同阶、等价无穷小）
4. 间断点及类型
   （识别间断点，判断第一类 / 第二类间断点，可去、跳跃、无穷、振荡间断点的区分）

🌟 求极限必背方法

1. 基础类

• 基本极限（牢记重要极限公式，比如 (limlimits_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1) 、 (limlimits_{x to infty} (1 + frac{1}{x})^x = e) ）
• 有理运算法则（极限的加减乘除、复合运算，注意适用条件）

2. 简化计算类

• 等价代换（常见等价无穷小，(x to 0) 时 (sin x sim x) 、 (ln(1 + x) sim x) ，替换后简化计算）

3. 高阶技巧类

• 洛必达法则（ (frac{0}{0}) 、 (frac{infty}{infty}) 型直接用，注意和等价代换结合更高效）
• 泰勒公式（把复杂函数展开成多项式，比如 (e^x) 、 (cos x) 的泰勒展开，精准计算极限）
• 夹逼准则（两边夹逼，适用于数列或函数和式的极限，找上下界）

4. 特殊场景类

• 定积分定义（和式极限转化为定积分，(limlimits_{n to infty} sum_{i = 1}^n f(frac{i}{n}) cdot frac{1}{n} = int_0^1 f(x)dx) ）
• 单调有界准则（证明数列极限存在，先证单调、有界，再求极限）
• 中值定理（拉格朗日、柯西中值定理，构造函数证明极限关系）

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