📚考研数学｜多元函数题型 + 答案解析

今天分享多元函数的考研数学题型，附详细解答！李林老师的题目超经典，备考高数的宝子必看👇

🔥 题型 1：椭圆与圆的位置关系（李林数一）

题目：设圆 ((x – 1)^2 + y^2 = 1) 内切于椭圆 (frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0))，求 (a,b) 的值使得椭圆面积最小。

解题思路：

1. 找切点：圆和椭圆在第一象限的切点 (M(x_0,y_0))，利用相切条件（斜率相等、点在曲线上）列方程
2. 用拉格朗日乘数法，构造目标函数（椭圆面积 (S = pi ab) ）和约束条件，求最小值

关键步骤：

• 联立圆和椭圆的切线方程，推导得 (a^4 – a^2b^2 + b^4 = 0)
• 构造拉格朗日函数 (L = pi ab + lambda(a^4 – a^2b^2 + b^4))，求偏导并解方程组
• 最终解得 (a = frac{3sqrt{2}}{2}, b = frac{sqrt{6}}{2})

🔥 题型 2：平面曲线的极值问题（李林数二）

题目：设连续平面曲线 L 过点 ((0,sqrt{2}))，在该点有水平切线，且满足 (2yy” + 2y’^2 + 1 = 0)，求函数 (f(x,y) = x^2 – sqrt{2}xy + 2y^2) 在 L 区域 D 上的最大值与最小值。

解题思路：

1. 解微分方程 (2yy” + 2y’^2 + 1 = 0)，结合初始条件（过点、水平切线）求曲线 L 的方程
2. 分析函数 (f(x,y)) 在曲线 L 上的极值，用拉格朗日乘数法或参数化曲线求解

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