26考研李林高频考点108题做题本

高数每日两题📚｜函数性质+无界性判断

（1）函数奇偶性与可导性综合题

设g(u)=∫0usin⁡(cos⁡t)dtg(u)=∫0usin(cost)dt，f(x)=∫0∣x∣g(u)duf(x)=∫0∣x∣g(u)du，则正确的
A. f(x)f(x)是不可导的偶函数
B. f(x)f(x)是可导的偶函数
C. f(x)f(x)是不可导的奇函数
D. f(x)f(x)是可导的奇函数

💡 ‌解题思路‌
1️⃣ ‌奇偶性判断‌：
积分上限为∣x∣∣x∣，即f(−x)=∫0∣−x∣g(u)du=∫0∣x∣g(u)du=f(x)f(−x)=∫0∣−x∣g(u)du=∫0∣x∣g(u)du=f(x)，
∴ f(x)f(x)是偶函数，排除C、D选项。g(0)=0g(0)=0，由洛必达法则得极限为0，∴ f(x)f(x)在x=0x=0处可导。

✅ ‌结论‌：f(x)f(x)是可导的偶函数，选B。‌
1️⃣ ‌关键分析‌：
无界函数需考察区间内是否存在极限为∞的点，重点关注：

• 分母为0的点（x=±1x=±1）

• ‌B. (−1,0)(−1,0)‌：分母∣x∣−1=−x−1<0∣x∣−1=−x−1<0，e1x→0ex1→0（x→0−x→0−），积分有界，整体有界
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