🧮考研数学｜高数预备知识题型 + 解题思路

宝子们！高数预备知识的经典题型 + 保姆级解析来啦✨ 吃透这 2 道题，搞懂分段函数复合和换元法求函数表达式，基础筑牢👇

1.1 分段函数复合：f [f (x)] 咋求？

已知分段函数 f(x)={2,0,∣x∣≤1∣x∣>1，求f[f(x)]
🔥 解题关键：把内层函数当新变量（比如把f(x)看作 “狗”🐶 ），再套分段规则！
步骤：
① 先看f[f(x)]的分段依据：∣f(x)∣≤1或∣f(x)∣>1
② 分析f(x)取值：f(x)要么是 2（当∣x∣≤1），要么是 0（当∣x∣>1）
③ 代入判断：

• 当 ∣x∣≤1 时，f(x)=2 → ∣f(x)∣=2>1 → f[f(x)]=0
• 当 ∣x∣>1 时，f(x)=0 → ∣f(x)∣=0≤1 → f[f(x)]=2
  ④ 综上：f[f(x)]={2,0,∣x∣>1∣x∣≤1，选 (D)

1.2 换元法求函数：f(x+x1) 咋变 f(x)？

已知 f(x+x1)=1+x4x+x3，求f(x)
🔥 思路：复杂部分换元！但直接换元难，先对分母变形，凑出x+x1的形式～
步骤：
① 分母变形：1+x4=x2(x2+x21)=x2[(x+x1)2−2]

②分子提取：x+x3=x2(x+x1)③ 整体化简：f(x+x=x2[(x+x1)2−2]x

• 分段函数复合：分层代入，先内后外，结合定义域判断！
• 换元法求函数：遇复杂表达式先变形，凑出统一变量，注意定义域限制～

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