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• 26数学-李林辅导讲义高数做题本✔
李林的辅导讲义通常包含基础到强化的所有知识点，适合不同阶段的复习。它不仅覆盖了高等数学的核心内容，如极限、导数、积分等，还提供了丰富的例题和解题技巧。 讲义逻辑结构清晰，方法总结全面，适合有一定基础的学生自我学习和巩固。 辅导讲义中的题目既有适合基础阶段的，也有适合强化和冲刺阶段的，如880题集，它分为基础、综合和拓展，适合不同水平的复习需求。开始复习时，可以先通过李林的辅导讲义打牢基础，理解每个概念和定理，同时做对应的习题进行巩固。 进入7-9月，可以重点使用880题中的综合和拓展部分，这些题目有助于提升解题技巧和应对复杂问题的能力。做题过程中，记录错题，定期回顾，确保每个错误点都得到解决。合理安排时间，不要等到最后才开始做题，持续的练习是关键。 根据个人情况选择是否需要全部完成，如时间有限，可优先完成与自己薄弱环节相关的部分。
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🔍 例1：复合函数定义域求解
题目：
设 ( f(x) = e^x )，且满足 ( fleft[ varphi^2(x) right] = 1 – x )，( varphi(x) geq 0 )，求 ( varphi(x) ) 的定义域。
💡 解题步骤：
1. 代入函数关系：
( e^{varphi^2(x)} = 1 – x )
2. 取对数解方程：
( varphi^2(x) = ln(1 – x) )
∵ ( varphi(x) geq 0 )，∴ ( varphi(x) = sqrt{ln(1 – x)} )
3. 定义域限制：
– ( ln(1 – x) geq 0 ) ⇒ ( 1 – x geq 1 ) ⇒ ( x leq 0 )
– ( 1 – x > 0 ) ⇒ ( x < 1 )
综上：定义域为 ( x leq 0 )
✅ 关键点：
– 对数函数真数必须为正（(1-x>0)）
– 根号内表达式非负（(ln(1-x) geq 0)）
📊 例2：分段函数复合运算
题目：
设 [f(x) = begin{cases} e^x, & x < 1, \ x, & x geq 1, end{cases}quad
g(x) = begin{cases} x + 2, & x < 0, \ x^2 – 1, & x geq 0, end{cases}]
求 ( fleft[ g(x) right] )。
💡 解题步骤：
1. 分析 ( g(x) ) 输出范围：
– 当 ( x < 0 )：( g(x) = x + 2 ) ∈ ( (-infty, 2) )
– 当 ( x geq 0 )：( g(x) = x^2 – 1 ) ∈ ( [-1, +infty) )
2. 分段讨论 ( f[g(x)] )：
– 情况1：( g(x) < 1 )
– ( x < 0 ) 时：若 ( x + 2 < 1 ) ⇒ ( x < -1 ) ⇒ ( f[g(x)] = e^{x+2} )
– ( x geq 0 ) 时：若 ( x^2 – 1 < 1 ) ⇒ ( x in [0, sqrt{2}) ) ⇒ ( f[g(x)] = e^{x^2 – 1} )
– 情况2**：( g(x) geq 1 )
– ( x in [-1, 0) )：( x + 2 geq 1 ) ⇒ ( f[g(x)] = x + 2 )
– ( x geq sqrt{2} )：( x^2 – 1 geq 1 ) ⇒ ( f[g(x)] = x^2 – 1 )
✅ 最终表达式 [
f[g(x)] = begin{cases} e^{x+2}, & x < -1, \ x + 2, & -1 leq x < 0, \ e^{x^2 – 1}, & 0 leq x < sqrt{2}, \ x^2 – 1, & x geq sqrt{2}. end{cases}]
🌟 技巧：
– 先确定内层函数 ( g(x) ) 的值域，再结合外层 ( f(x) ) 的分段条件！
📌 李林讲义特色总结
1. 复合函数：注意定义域传递性（例1）和分段讨论（例2）。
2. 分段函数：画数轴辅助分析，避免遗漏区间。
3. 易错点：对数/根号隐含的定义域限制！
