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•27数学-张宇《1000题_强化篇》数三做题本【留空】4.7✔
本文档是考研数学一元函数微分学的应用笔记，内容涵盖微分学的计算（复合函数求导、隐函数求导、高阶导数、泰勒展开）、几何应用（切线方程、极值与最值、单调性与凹凸性、渐近线）、中值定理（拉格朗日、柯西定理应用与证明）、微分不等式（利用导数性质证明函数关系）及物理应用（经济问题中的边际分析、需求弹性）等核心知识点。笔记通过典型例题解析解题思路，强调导数在函数性态研究中的关键作用，适合备考学生系统梳理微分学知识体系，提升解题能力与应试技巧。
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📑27数学-张宇《1000题_强化篇》数三做题本【留空】4.7
第2页：一元函数微分学计算。1. 复合函数求导：如y=sin(e^(-√x))，求导需逐层链式法则；2. 隐函数求导：由方程确定的函数y=y(x)，通过两边对x求导，代入初始条件得导数；3. 高阶导数：如f”(x)计算，利用莱布尼茨公式或泰勒展开；4. 微分近似：利用微分dy=f’(x)Δx近似计算函数增量。第3页：几何应用。1. 切线与法线：已知切点坐标求切线方程，如f(x)在x0处的切线斜率为f’(x0)；2. 极值判定：一阶导数符号变化（左正右负为极大值），二阶导数f”(x0)<0为极大值点；3. 凹凸性：二阶导数f”(x)的符号决定，f”(x)>0为凹函数；4. 渐近线：垂直渐近线x=a（f(x)在x=a处无穷间断），水平渐近线y=b（limf(x)=b），斜渐近线y=kx+b（k=limf(x)/x，b=lim(f(x)-kx)）。第4页：几何应用。1. 函数图像分析：如f(x)=x²ln(sin1/x+cos1/x)的渐近线与单调性；2. 斜渐近线计算：lim(f(x)/x)=k，lim(f(x)-kx)=b；3. 曲线拐点：二阶导数变号点，如f”(x)=0且左右变号处。第5页：微分中值定理与不等式。1. 拉格朗日定理：存在ξ∈(a,b)使f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)；2. 柯西定理：存在ξ∈(a,b)使[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f’(ξ)/g’(ξ)；3. 不等式证明：构造辅助函数，利用导数单调性证明，如f(x)≥0且f’(x)≥0则f(x)递增。
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