27考研管综海绵海绵周测1期(第1场)

2.2 基本求导法则
1. 和差法则：(u±v)’ = u’±v’
2. 乘积法则：(uv)’ = u’v + uv’
3. 商法则：(u/v)’ = (u’v – uv’)/v² (v≠0)

2.3 微分的概念
微分是函数增量的线性近似。函数y = f(x)在点x处的微分dy = f’(x)dx，其中dx是自变量的微分，等于自变量的增量Δx。

积分学
3.1 不定积分
如果在区间I上，函数F’(x) = f(x)，那么F(x)就称为f(x)在区间I上的一个原函数。f(x)的所有原函数的集合F(x)+C（C为任意常数）称为f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx = F(x)+C。

3.2 定积分的定义
定积分是积分学中的核心概念之一。定积分定义为：∫(a到b)f(x)dx = lim(n→∞)Σ(f(ξi)Δxi)，其中Δxi是区间的宽度，ξi是小区间上的任意点。

3.3 定积分的基本性质
1. 线性性：∫(a到b)[k1f(x)+k2g(x)]dx = k1∫(a到b)f(x)dx + k2∫(a到b)g(x)dx
2. 区间可加性：∫(a到b)f(x)dx = ∫(a到c)f(x)dx + ∫(c到b)f(x)dx (a<c<b)
3. 保号性：若在[a,b]上f(x)≥0，则∫(a到b)f(x)dx ≥0

3.4 定积分的应用
定积分在物理、几何等领域有广泛应用。例如，计算平面图形的面积、旋转体体积、曲线弧长等。

多元函数微分学
4.1 多元函数的概念
设D是平面上的一个点集，如果对于每一个点P(x,y)∈D，变量z按照一定的法则总有确定的值与之对应，则称z是变量x,y的二元函数，记作z = f(x,y)，其中x,y称为自变量，z称为因变量。

4.2 偏导数与全微分
偏导数是对多元函数中某一个自变量求导。例如，函数z = f(x,y)对x的偏导数∂z/∂x = lim(Δx→0)[f(x+Δx,y) – f(x,y)]/Δx。全微分dz = ∂z/∂x dx + ∂z/∂y dy，它是函数增量的线性主部。

4.3 多元函数的极值
多元函数的极值点是函数在该点的某个邻域内取得最大值或最小值的点。在极值点处，函数的偏导数通常为零（或不存在），即梯度为零向量或不可导点。

无穷级数
5.1 常数项级数的概念
常数项级数是由常数项组成的级数，其部分和数列的极限存在时，级数收敛。例如，几何级数∑(n=0到∞)ar^n，当|r|<1时收敛，和为a/(1-r)。

5.2 正项级数的审敛法
正项级数收敛的充要条件是其部分和数列有上界。常用的审敛法包括比较审敛法、比值审敛法（达朗贝尔判别法）、根值审敛法（柯西判别法）等。

5.3 幂级数
幂级数是形如∑(n=0到∞)an(x-x0)^n的级数，其中an为系数，x0为收敛中心。幂级数在其收敛区间内可以逐项求导和逐项积分。

5.4 傅里叶级数
傅里叶级数用于将周期函数展开为三角函数的线性组合，形式为a0/2 + ∑(n=1到∞)[an cos(nx) + bn sin(nx)]，其中系数an和bn由函数f(x)决定。