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这是一份李永乐老师整理的考研数学二次型强化导图笔记,聚焦二次型核心知识点。内容涵盖二次型的定义、矩阵表示(实对称矩阵形式)、标准形化法(配方法、正交变换法)、惯性定理(正惯性指数、负惯性指数等)、特征值与特征向量在二次型中的应用、正定性判定(如顺序主子式法)及典型例题解析,公式推导清晰,适配考研数学二/三强化复习阶段,帮助考生系统掌握二次型的概念、化法及性质,提升解题能力。
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📑27数学-李永乐线代强化思维导图:二次型
二次型定义:n元二次齐次多项式f(x₁,…,xₙ)=xᵀAx,A为实对称矩阵;矩阵表示:f(x)=a₁₁x₁²+…+aₙₙxₙ²+2a₁₂x₁x₂+…+2a₁ₙx₁xₙ,对称矩阵A=(aᵢⱼ);标准形化法:配方法(如x₁²+2x₁x₂化为(x₁+x₂)²-x₂²)、正交变换法(利用正交矩阵P使PᵀAP=Λ);惯性定理:实二次型f(x)=xᵀAx的标准形中,正平方项个数p、负平方项个数q、零项个数r=p+q+r=n,p,q,r为惯性指数;正定性判定:对任意x≠0,f(x)>0等价于A特征值全正或顺序主子式全>0;应用:求二次型最大值(如正定二次型在约束条件下的最值)。
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