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本文档为27数学-喻老线代讲义做题本强化篇，聚焦线性代数核心知识点，涵盖行列式计算、矩阵运算（包括逆矩阵、伴随矩阵、秩）、向量组线性相关性、线性方程组求解（含公共解）、特征值与特征向量、实对称矩阵对角化及二次型（含正定二次型）等专题。各章节通过典型例题（如2015年行列式真题、矩阵相似对角化问题）解析解题思路，配套基础概念与方法总结，适合考研数学强化阶段复习，帮助学生掌握线代解题技巧与应试能力。
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📑27数学-喻老线代讲义做题本强化篇（竖版）
【行列式】计算n阶行列式，如例1：计算Dn=|1 1 … 1; 1 2 … 2; …; 1 n … n|，通过行变换化为上三角矩阵；例2：2015年真题，利用分块矩阵性质计算行列式。【矩阵】1. 矩阵运算：设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，证明AB不可逆（当m>n时）；2. 逆矩阵：设A可逆，将第i行2倍加到第j行得B，求B⁻¹；3. 秩与伴随矩阵：已知A=Aᵀ，证明A可逆；4. 分块矩阵：设A为n阶矩阵，P=|E 0; -αᵀA |A|，Q=|A α; αᵀ b|，化简PQ并证明Q可逆条件。【向量】1. 线性相关性：α₁=(1,0,1)ᵀ，α₂=(0,1,1)ᵀ，α₃=(1,1,0)ᵀ线性无关；2. 线性表示：β可由α₁,α₂,α₃线性表示，求参数a；3. 极大无关组：向量组秩为3，求极大无关组。【线性方程组】1. 齐次解：A为3阶矩阵，α₁,α₂,α₃为A的属于特征值1的特征向量，求Ax=0的基础解系；2. 非齐次解：A为4阶矩阵，已知Ax=β的通解，求A的秩及满足x₁=x₃,3x₂=x₄的解。【特征值】1. 特征值与特征向量：A为3阶矩阵，特征值1,2,3，对应特征向量α₁,α₂,α₃，求P⁻¹AP=diag(1,2,3)；2. 实对称矩阵：A为实对称矩阵，特征值1,2,3，求正交矩阵P。【二次型】1. 标准形：f(x₁,x₂,x₃)=(x₁+x₂)²+(x₂-x₃)²+(x₃+x₁)²，求秩；2. 正定二次型：已知A正定，证明BᵀAB正定；3. 规范形：f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+4x₂²+4x₃²-4x₁x₂+4x₁x₃-8x₂x₃，求规范形。
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