本篇笔记文档名 👇
•27数学-求极限七大母题✔
本文档为考研数学求极限的七大母题笔记，涵盖等价代换、幂指数极限、洛必达法则、左右极限、无穷小与有界函数乘积、阶的比较等核心方法。每个母题包含常用公式、解题技巧及典型例题，如等价代换利用x→0时的常见等价式；洛必达法则适用于0/0或∞/∞型，需先约分化简或替换；左右极限用于分段函数及含绝对值表达式；无穷小与有界函数乘积利用有界性求极限；阶的比较通过极限比值确定系数。笔记结构清晰，例题详细，适合考研学生系统掌握极限题型解法。
文档的预览图如下，需要完整PDF文件的同学，文末有文档编码，保存后即可直接打印使用。
📑27数学-求极限七大母题
一、利用等价代换求极限
二、求幂指数的“1^∞”型极限
[公式] 当x→0时，(1+x)^(1/x)→e，或lim f(x)^g(x)（f→1，g→∞）可化为e^lim g(x)(f(x)-1)。
三、利用洛必达法则
[法则] 设f(x)=0，g(x)=0，f’(x)、g’(x)在a去心邻域可导且g’(x)≠0，lim f’/g’存在则lim f/g=lim f’/g’。
[A类] 0/0或∞/∞型：先约去公因式、等价替换化简，如例3：lim(x→0)[e^x – e^(-x) – 2x]/(x – sinx)=lim(x→0)[e^x + e^(-x) – 2]/(1 – cosx)。
[B类] ∞-∞型：通分化为0/0或∞/∞型，如通分后用洛必达。
[C类] 0·∞型：化为商型，如lim(x→0)x·lnx=lim(lnx)/(1/x)=0。
四、利用左右极限求极限
需先求左、右极限的情况：分段函数分段点、含|x-a|、指数/反三角函数极限。
例8：f(x)=sin2x/x (x<0)，x²/(1-6x³) (x>0)，lim(x→0)f(x)：左极限=2，右极限=0，极限不存在。
五、求函数表达式中的待定常数
例：lim(x→2)(x²+ax+b)/(x²-x-2)=2，得a=2，b=-8。
六、利用无穷小与有界函数乘积求极限
[有界函数]：sinx, cosx, arctanx, arccotx等，如lim(x→0)x·sin(1/x)=0。
七、利用无穷小阶的比较求待定系数
同阶/等价无穷小：lim(x→0)α/β=C≠0为同阶，C=1为等价。
例10：lim(x→0)(1-cosx)/x^n=1/2，得n=2。
