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•27数学-南山牛顿插值法✔
本文档为数学笔记，主要讲解牛顿插值法相关知识，包括二阶差商、三阶差商的定义，牛顿插值多项式的构造原理，并通过具体例题（如给定函数值条件下构造多项式，利用罗尔定理证明高阶导数结论）展示如何应用牛顿插值法解决高阶导证明题，帮助学习者掌握插值多项式在数学分析中的应用技巧。
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📑27数学-南山牛顿插值法
解决高阶导证明题
二阶差商
三阶差商
f(x₀)
f(x₁)
f[x₀,x₁] = (f(x₀)-f(x₁))/(x₀-x₁)
f(x₂)
f[x₁,x₂] = (f(x₁)-f(x₂))/(x₁-x₂)
f[x₀,x₁,x₂] = (f[x₀,x₁]-f[x₁,x₂])/(x₀-x₂)
牛顿插值多项式
Nₙ(x) = f(x₀) + fx₀,x₁ + fx₀,x₁,x₂(x-x₁) + …
本质是用多项式模拟抽象函数，常给模拟条件：1. f(0)=0, f(1)=0, f(x)=-1；2. f(-1)=0, f(1)=1, f(0)=0；3. f(0)=0, f(1)=1, ∫₀¹f(x)dx=2/3。构造F(x)=f(x)-A，利用F(x)的零点和高阶导数证明结论。例如构造二次多项式A=0+0/(1-0)(x-0)+a(x-0)(x-1)，代入f(x₀)=-1求解a，再用罗尔定理得f”(ξ)=2/[x₀(1-x₀)]。
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