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•27数学-武忠祥基础笔记（1-4数列求极限)✔
武忠祥高数基础班笔记中数列求极限部分，系统讲解三种核心方法：夹逼准则适用于n项和极限，通过放大缩小构造夹逼条件，需注意不能先求每项极限再相加；单调有界准则针对递推数列，需先证单调性与有界性以确定收敛性，再解极限方程；定积分定义将n项和转化为定积分，通过提因子、识函数、定区间三步实现。每种方法结合南山笔记关键提示，如夹逼准则的放缩技巧、单调有界的证明逻辑、定积分定义的适用场景对比，帮助学生掌握数列极限求解的核心思路与易错点，为后续高阶内容学习奠定基础。
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📑27数学-武忠祥基础笔记（1-4数列求极限)
适用场景：n项和的数列极限，无法逐项求和时。
核心思想：放大缩小，将数列夹在两极限相等的表达式之间。
步骤：1.找放大缩小不等式；2.求两边极限；3.极限相等则原极限存在。
例：limₙ→∞(1/(n²+n+1)+2/(n²+n+2)+…+n/(n²+n+n))，两边极限均为1/2。
重要结论：设a₁,a₂,…,aₘ>0，则limₙ→∞ⁿ√(a₁ⁿ+…+aₘⁿ)=max{a₁,…,aₘ}。
二、利用单调有界准则求极限
适用场景：递推关系xₙ₊₁=f(xₙ)定义的数列。
两步法：1.证存在：数学归纳法证有界，比较xₙ₊₁-xₙ符号证单调；2.求极限：设limxₙ=A，解A。
注意：必须先证收敛，否则直接取极限可能错误（反例xₙ₊₁=1-xₙ发散）。
三、利用定积分定义求极限
适用场景：特定n项和极限，可视为函数积分和。
核心思想：转化为定积分定义：∫ₐᵇf(x)dx=limₙ→∞Σf(ξᵢ)Δxᵢ。
方法：提因子1/n，识函数f(i/n)，定区间[0,1]等。
对比：夹逼适用于变化部分与主体比为0（次量级），定积分适用于比为非零常数（同量级）。
例：limₙ→∞(1/(n+1)+…+1/(n+n))=∫₀¹1/(1+x)dx=ln2。
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