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本文档为线性代数学习笔记，系统梳理核心知识点。涵盖行列式部分，包括余子式、代数余子式的定义，行列式的基本性质（如转置行列式值不变，某行有公因式可提出，两行互换变号，行元素为和可拆行列式，行倍加不变等）及计算方法（化为三角行列式、按行/列展开、递推法等），同时提及特征值与行列式的关系、可逆矩阵和伴随矩阵的行列式性质。第三章重点讲解向量组，涉及线性表示（充要条件、表示定理）、线性相关性（充要条件、推论）、线性无关性（充要条件）、向量组的秩与极大无关组，以及n维向量空间的基底、坐标、过渡矩阵等内容，帮助学习者构建知识体系，巩固学习重点。
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📚26数学-线性代数导图(一烫)📚
行列式：余子式M为划去aij所在行和列，剩下元素按原位置排列的行列式；代数余子式Aij=(-1)^(i+j)Mij。行列式性质：|A^T|=|A|；某行（列）有公因式k可提到行列式外；某行（列）全为0，行列式值为0；两行（列）互换，行列式变号；两行相等或成比例，行列式为0；某行元素为两数和，可拆为两个行列式之和；某行k倍加至另一行，行列式值不变。kA行列式值=k^n|A|；|AB|=|A||B|；A可逆时|A⁻¹|=|A|⁻¹；|A*|=|A|^(n-1)；特征值λ₁,…,λₙ时|A|=λ₁λ₂…λₙ；若A与B相似，则|A|=|B|。行列式计算方法：化为上下三角行列式、按行/列展开、递推法、数学归纳法、逐行（列）相加等。向量：n维向量概念，加法与数乘运算。线性表示：β可由α₁,…,αₛ线性表出的充要条件是r(α₁,…,αₛ)=r(α₁,…,αₛ,β)；向量组等价指两组向量可相互线性表出；若β可由α₁,…,αₛ表出，则r(α₁,…,αₛ)≤r(β₁,…,βₜ)。线性相关：存在不全为0的k₁,…,kₛ使k₁α₁+…+kₛαₛ=0，充要条件是r(α₁,…,αₛ)<s；某αi可由其余向量线性表出，或n+1个n维向量必相关。线性无关：仅当k₁=…=kₛ=0时k₁α₁+…+kₛαₛ=0，充要条件是r(α₁,…,αₛ)=s；任意αi不可由其余向量表出，原无关则延伸组无关，缩短组相关。向量组的秩：极大线性无关组的向量个数，向量组等价则秩相等，矩阵行变换可求极大无关组与秩。向量空间：n维向量空间，基底（线性无关且可表空间任意向量），过渡矩阵，规范正交基（向量正交且模为1），坐标（基底表出系数）。
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