26考研基础班笔记向量（李永乐）

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笔记内容概述‌：

李永乐线性代数基础班，主要分享了关于向量及其运算的内容。从加法与数乘的基本性质，到解线性方程组的方法，再到基础解系的求解，内容涵盖广泛且深入。

‌加法与数乘满足的性质‌：

1. α+β=β+α
2. (α+β)+γ=α+(β+γ)
3. α+0=α
4. α+(-α)=0
5. 1·α=α
6. k(lα)=(kl)α
7. k(α+β)=kα+kβ
8. (k+l)α=kα+lα

‌解线性方程组‌：

给定方程组：

{x1+x2+x3=53x1+2x2+x3=x2+2x3=2⎩⎨⎧x1+x2+x3=53x1+2x2+x3=x2+2x3=2

通过增广矩阵的初等行变换求解，得到：

A‾=[11532113012]→[10−1301220000]A=30121112513→100010−120320

同解方程组为：

{x1−x3=3x2+2x3=2{x1−x3=3x2+2x3=2

‌无穷多解的情况‌：

当 ∀x3=t∀x3=t 时，方程组有无限多解，例如：

{x1=3+tx2=−2t{x1=3+tx2=−2t

或

{x1=3x2=2{x1=3x2=2

特解为 α=(3,2,0)Tα=(3,2,0)T。

令 x3=1x3=1，得到：

{x1−x3=0⇒x1=1x2+2x3=0⇒x2=−2{x1−x3=0⇒x1=1x2+2x3=0⇒x2=−2

‌基础解系‌：

基础解系 η=(1,−2,1)Tη=(1,−2,1)T，因此：

x=α=kη=[320]+k[1−2]x=α=kη=320+k[1−2]

这份笔记对于理解向量运算和求解线性方程组非常有帮助，适合线性代数初学的同学参考。

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