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•26数学-不定积分与定积分性质小结(一烫)✔
本文为不定积分与定积分性质的系统小结，内容涵盖不定积分的基本性质（如线性性、导数与微分性质）、常用结论（包括原函数奇偶性、周期性与原函数的关系等），以及定积分的性质（如连续性、可导性）和常用结论（如区间可加性、保序性、积分中值定理等），适合高等数学学习中积分部分的复习参考，帮助学生梳理和巩固相关重要知识点。
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📚26数学-不定积分与定积分性质小结(一烫)📚
不定积分性质
(2) [∫f(x) dx]’ = f(x), d[∫f(x) dx] = f(x) dx;
(3) ∫df(x) = f(x) + C, 其中 C 为任意常数.
不定积分常用结论
- ∫f(x) dx = F(x) + C, d∫f(x) dx = f(x) dx.
- 设 f(x) 为(-∞, +∞)上的连续函数，则
(1) f(x) 是奇函数 ⇒ f(x) 的任意原函数 F(x) 为偶函数;
(2) f(x) 是偶函数 ⇒ f(x) 的原函数中只有一个为奇函数，即 ∫₀ˣ f(t) dt;
(3) f(x) 的任意原函数为周期函数 ⇏ f(x) 为周期函数;
(4) f(x) 为以 T 为周期函数，且 ∫₀ᵀ f(x) dx = 0 ⇒ f(x) 的任意原函数是以 T 为周期的周期函数;
(5) 函数的单调性与其原函数的单调性之间没有逻辑上的因果关系. - 设连续的抽象函数 f(x)，考察 f(x) 与其原函数 F(x) 的奇偶性、周期性等问题时，常将原函数 F(x) 表示成积分上限函数 F(x) = ∫₀ˣ f(t) dt + C，方便讨论.
定积分性质
设 F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt (x ∈ [a, b])，则
(1) 当 f(x) 在 [a, b] 上可积时，F(x) 在 [a, b] 上连续.（可积必连续）
(2) 当 f(x) 在 [a, b] 上连续时，F(x) 在 [a, b] 上可导.（连续必可导）
(3) 当 f(x) 在 [a, b] 上 k 阶可导时，F(x) 在 [a, b] 上 k+1 阶可导.（导必高阶可导）
定积分常用结论
(1) ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx + ∫cᵇ f(x) dx.
(2) 设 f(x) ≤ g(x) (x ∈ [a, b])，则 ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ ∫ₐᵇ g(x) dx.
(3) |∫ₐᵇ f(x) dx| ≤ ∫ₐᵇ |f(x)| dx.
(4) 设 f(x) 在 [a, b] 上的最大值和最小值分别为 M 和 m，则 m(b – a) ≤ ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ M(b – a).
(5) 积分中值定理：设 f(x) 在 [a, b] 上连续，则 ∫ₐᵇ f(x) dx = f(ξ)(b – a)，ξ ∈ (a, b).
